1. Sitzung zur komparativen Statik: IS/LM
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Transcript 1. Sitzung zur komparativen Statik: IS/LM
2. Sitzung zur komparativen Statik:AS-AD-Modell
1. Vorüberleg
ung : Exogenität
2. AD - Kurve : Bestimmung
3 . Laplace - Expansion
4 . Fiskal - und Geldpoliti
und Endogenitä
der Steigung
t im AS - AD - Modell
(Matrizens
chreibweis
e, Cramer Regel, Jacobi - Determinan
(Regel von Sarrus)
k im AS - AD - Modell
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
te)
P
=> zwei Gleichungen, aber drei Variablen (y, r, P) und ein Diagramm
1. Problem:
Y
Was ist hier exogen ?
entspricht
weshalb
der Logik des Modells,
? Veränderun
gen von
daß P als exogen angenommen
wird;
P im IS/LM - Modell führen zur AD - Kurve
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
2 . AD - Kurve : Bestimmung
der Steigung
r
(1) S (Y ) I ( r ) G
(2)
M
P
LM
LM
L (Y , r )
P
AD
endogen : Y , r
Sortieren
Y
M
P
exogen : M , G , P
nach endogenen
und exogenen
Variablen
:
(1) S (Y ) I ( r ) G
( 2 ) L (Y , r )
M
P
totale implizite
Differenti
ation (nur dY, dr, dP; nicht dG)
S Y dY I r dr 0
L Y dY L r dr ( M / P ) dP
2
Matrizensc
SY
LY
hreibweise
:
I r dY 0
L r dr ( M / P 2 ) dP
Jacobi-Determinante
endogen
exogen
Y ?
Y
Cramer - Regel bei Jacobi - Determinan
(Quelle : Mc Kenna/Rees
Aj
Yj
veränderte
A
dY
1992)
Koeffizien tenmatrix
Koeffizien tenmatrix
bei simultanem
Gleichungs
Jac
dY
system
3 . Laplace - Expansion
(Quelle : Chiang,
S.96)
a 11
A a 21
a 31
a 13
a 23
a 33
a 12
a 22
a 32
entwickeln
Jac verändert
Ir
0
te
M
2
P
SY
Ir
LY
Lr
a 32 a 33
(Subdeterm
dY
dP
S Y L r I r LY
I r (M / P )
2
S Y L r I r LY
exogen
0
inante)
l : Entwicklun
2
dY
über die erste Zeile :
minor of a 11
Rechenrege
I r ( M / P ) dP
te)
a 22 a 23
a 11
Lr
(Regel von Sarrus für 3x3 Determinan
g über die 1. Zeile : A a11 M 11 a12 M 12 a13 M 13
5
6
1
Bsp : A 2
3
0 A 5
7 -3
0
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
3 0
3 0
6
2 0
7 0
2
3
7 -3
0 0 27 27
aber : auch Entwicklun
möglich
g über die erste Spalte ist
(alternier endes Vorzeichen
Bsp : A 5
auch bei Spalten)
3
0
3
0
2
6
1
3
0
7
6
1
3
0
0 6 21 27
-
-
-
Zusatz : es läßt sich ein einfachere
-
Eselsbrück
in diesem Fall Entwicklun
e : Schachbret
a 11 a 12
Matrix : A a 21 a 22
a 31 a 32
A a 11
a 22
a 23
a 32
a 33
(Vorzeiche
tverfahren
a 13
a 11 a 12
a 23
Deter min ante : A a 21 a 22
a 33
a 31 a 32
a 12
a 21
a 23
a 31
a 33
a 13
a 21
a 22
a 31
a 32
a 13
A 1
a 23
a 33
a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
g über die 3. Spalte
nregel bleibt bestehen)
2
3
7
-3
r Weg finden;
0 0 27
Musterlösung
2. Sitzung zur komparativen Statik:AS-AD-Modell
4. Fiskal - und Geldpoliti
k im AS - AD - Modell
AD AS Modell :
(1)
AD
(2)
S(Y) I ( r ) G
M
L (Y , r )
P
( 3 ) N N ( , ) mit :" taste"-Par ameter auf Arbeitsang
: beeinflußt
AS
die Arbeitsnac
ebotsseite
hfrageseit
e (z.B. technisch
er Fortschrit t )
(4) Y f(N, )
Durch einsetzen
von (3) in (4) ergibt sich :
(5) S (Y T (Y )) T (Y ) I ( r ) G
P
AS ( , )
( 6 ) M / P L (Y , r )
( 7 ) Y f ( N ( , ), )
endogen : Y , r , P
Gleichgewicht graphisch
exogen : G , M , ,
P*
AD ( G , M )
Y*
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
Y
Totale Differenti
ation von
(5) - (7) :
SY
L Y (Y , r )
1
-I r
2
M/P
0
L r (Y,r)
0
durch Anwendung
Y
G
Y
M
0
dY
dr
dP
dG
- dM/P
d (f N N d ( f N N f )
der Cramer - Regel ergibt sich :
0
0
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
andere Darstellun
g nach Homburg
:
P
AD - Kurve :
IS/LM=AD
F : S (Y ) I ( r ) G 0
1
F : L (Y , r ) M / P 0
2
Alternativ
Y
e Vorgehensw
eise (nach Homburg)
Jacobi und implizite
1
FY
dP
dY
F
1
Fr
2
Y
Fr
1
Fr
FP
2
FP
2
1
Fr
Funktion
gemischt
dS / dY
-dI / dr
dL / dY
dL / dr
2
0
:
:
-dI / dr
M /P
2
dL / dr
AD
<0
>0
dP
dY
<0
<0
<0
Investitio
>0
dS / dY dL / dr dI / dr dL / dY
dI / dr ( M / P )
2
nsfalle :
0
dr
0
<0
>0
<0
dY
AD
Liquidität
sfalle :
dL
dr
Fiskalpoli
1
F :
2
F :
3
F :
4
F :
tik im AS - AD - Modell
w
d
N N 0
P
dY
S(Y)-I(r)- G 0
dG
L (Y , r ) M / P 0
:Y , N , r, P
w
P
exogene Variable :
-1
0
-f
1
Y f (N ) 0
endogene Variablen
0
dY
dG
1
1
Fr
FN
2
Fr
FN
3
Fr
FN
4
Fr
1
Fr
1
FN
FG
2
FG
3
FG
4
1
FN
2
FN
2
Fr
3
FN
3
Fr
4
FN
4
Fr
FY
FY
FY
FY
1
0
0
Lr
M/P
0
-1
0
X
1
-f N
0
0
SY
0
-I
LY
0
0
1
2
FP
3
FP
4
FP
1
3
4
1
FP
2
2
FP
3
FP
4
FP
0
-I
N
3
4
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
r
Lr
d
2
0
M/P
2
w
2 0
(w / P ) P
Vorsicht : F N 1
2
0
r
Tip : X F P
FP
X
N
0
1
FG
0
yse :
Nenneranal
über erste Zeile
Jacobi : Entwickeln
1
( 1) S Y -I
0
LY
Ir
1 1
Lr
Ir
M
P
2
0
M/P
2
0
0
r
L
1
0
0
r
0
X 1
0
M/P
-I r
Lr
SY
-I r
LY
Lr
0
-I r
LY
0
Lr
0
X f N ( S Y L r I r LY ) 0
mit : I r 0 ,
M
P
2
0
X SY
2
( f N )
fN
0 , X 0 , f N 0 , S Y 0 , L r 0 , LY 0
der ganze Term ist größer 0
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
Zähleranal
dY
dG
yse
0
-1
0
X
0
fN
0
0
1
0
-I r
0
0
0
Lr
Ausgangspu
X
nkt : N
d
M
P
2
1
(w P )
w
2 0
( w / P ) P
N
d
Entwickeln
über die erste Spalte ist am einfachste
1
0
0
0
( 1) f N
0
0
( 1 ) ( 1)
Lr
0
0
M ( f N )
P
2
Lr
0 0
Lr
X
M
P
0
2
( 1) ( f N ( X L r )) f N X L r 0
>0 >0 <0
n:
Wirkung
auf das Preisnivea
1
FY
2
FY
2
1
FN
Fr
FN
3
Fr
4
FN
4
Fr
FY
dG
1
Fr
3
FY
dP
1
FN
FG
2
2
FG
3
FG
4
FG
Zähler : Entwicklun
u
3
4
1
0 1
0
0
1 fN
0
0
SY
0
-I r
1
LY
0
Lr
0
Jac
g über erste Zeile
0
(1) S Y
-I
r
LY
L
r
Ir
( 1) 1
Lr
Jac
0
-1
0
-1 0
0
0
0
0
( 1) ( L r ) L r
Zähleranal
yse über dritte Spalte :
0
0
0
( 1) 1
LY
( 1) 0
0
( 1) L r ( 1) L r
<0
>0
-1
0
-f
N
0
Lr
dP
0
1
0
0
dG
<0
Lr
0
Jac
>0
Lr
-1
-f N
Zähler Nenner Analyse
dY
dG
<0
Lr f N X
Jac
>0
Workshop "Mathematische
Ökonomie"
0
0
: