Transcript Einslæg horn

Punktur
 Punktur er staður ólíkur öðrum stöðum.
 Punktur hefur enga vídd.
 Enga lengd, enga breidd og enga þykkt.
 Til að tákna punkt eru notaðir hástafir. T.d. A, B, P, Q
 Mynd af punkti er  eða
Punkturinn A
A
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
1
Lína
 Gegnum tvo punkta gengur ein og aðeins ein lína.
(Frumsenda)
 Lína hefur eina vídd.
 Óendanlega lengd, enga breidd og enga þykkt.
 Til að tákna línu eru notaðir tveir punktar hennar
 ...eða lágstafir t.d. k, l, m, n . . .
k
A
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
B
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
2
Strik
 Safn þeirra punkta, sem liggja milli tveggja punkta á
línu að punktunum meðtöldum, kallast strik.
A
B
 Strik hefur ákveðna lengd.
 Strik er kennt við endapunkta sína. Strikið AB eða
AB  BA
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
3
Hálflína - geisli
 Sérhver punktur á línu skiptir línunni í tvær hálflínur
– tvo geisla.
O
 Geisli er óendanlega langur – hefur eina vídd.
 Geisli er táknaður með upphafspunkti sínum og
einum öðrum punkti.
A
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
O
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
B
4
Hálflína - geisli
Hvaða ólíka geisla(hálflínur) má tákna með þekktu
punkrunum A, O og B?
A
O
OB
AB  AO
OA
BA  BO
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
B
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
5
Horn
 Tveir geislar, sem hafa sama upphafspunkt, kallast horn.
A
O
B
 Sameiginlegi punkturinn, O, kallast oddpunktur hornsins.
 Tákn fyrir hornið á myndinni er
O
AOB  BOA eða
eða aðeins O ef það veldur ekki misskilningi.
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
6
Geislar – armar horns
 Geislarnir(hálflínurnar), sem mynda horn, kallast líka
armar hornsins.
A
O
B

OA og OB eru armar hornsins AOB  BOA
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
7
Beint horn
 Lína er horn; þar sem sérhver punktur á línu skiptir henni
í tvo geisla og tveir geislar eru horn.
A
O
B
 Slíkt horn kallast beint horn.
er beint

AOB

BOA
horn
 Beint horn er 180° að stærð (hálfur hringsnúningur).
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
8
Stærð horna
 Nú þegar við erum komin með skilgreiningu á stærð
horna opnast möguleikar á að tákna horn á einfaldari hátt
nefnilega með stærð þess.
Hornið u
u
 Hefð er fyrir að tákna stærð horna með lágstöfum
aftarlega úr stafrófinu t.d. x, y, z, u, v...
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
9
Rétt horn
 Ef þriðji geislinn hefur sama upphafspunkt og beina
hornið þannig að hann skiptir horninu í tvö jafnstór horn, þá
eru þau horn 90° að stærð.
 Slík horn kallast rétt horn.
90°
 Rétt horn er táknað með
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar

©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
10
Hvöss og gleið horn
 Horn sem eru minni en 90° kallast hvöss horn.
u
ef u < 90° þá er u hvasst horn
 Horn sem eru stærri en 90° kallast gleið horn.
v
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
ef v > 90° þá er v gleitt horn
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
11
Grannhorn
 Tvö horn sem hafa annan arminn sameiginlegan og
mynda saman 180° horn kallast grannhorn.
u
v
Ef u + v = 180° þá eru u og v grannhorn.
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
12
Topphorn
 Þegar tvær línur skerast kallast þau horn, sem hafa
armana hvorn í framhaldi af öðrum, topphorn.
a
u
v
b
a og b eru topphorn.
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
u og v eru topphorn.
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
13
Topphorn
 Hvað er líkt með topphornum?
a
 Eru topphorn alltaf jafnstór?
u
v
b
 Er a = b ?
 Er u = v ?
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
14
Regla: Topphorn eru jafnstór
Sanna: u = v
Gefið: u + a = 180° grannhorn
v + a = 180° grannhorn


a
u
v
b
u+a=v+a
u=v
Sönnun lokið!
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
15
Frændhorn
 Tvö horn sem til samans eru 180° kallast frændhorn.
v
u
Ef u + v = 180° þá eru u og v frændhorn.
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
16
Einslæg horn
Þegar lína sker tvær aðrar línur kallast þau horn sem liggja
eins við þriðju línunni einslæg horn.
m
b
a
d
c
u v
x
l
y
a og u eru einslæg
c og x eru einslæg
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
k
b og v eru einslæg
d og y eru einslæg
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
17
Einslæg horn
Tvö og tvö af hornunum átta sem myndast þegar lína sker
tvær aðrar línur eru eins. Tvö og tvö hornanna eru
grannhorn.
m
180°- a
a
180°- a
u
180°- u
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
k
a
180°- u
l
u
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
18
Einslæg horn við samsíða línur
Ef línurnar, sem þriðja línan sker, eru samsíða þá eru
einslæg horn jafnstór. Frumsenda.
m
a
u
Ef k
k
l
l þá er a = u.
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
19
Samsíða línur og einslæg horn
Ef einslæg horn eru jafnstór þá eru línurnar samsíða.
Frumsenda.
m
a
l
u
Ef a = u þá er k
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
k
l
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
20
Einslæg horn við samsíða línur
Þegar þriðja lína sker tvær samsíða línur koma fram átta
horn en aðeins tvær hornastærðir.
m
180°- a
a
180°- a
k
a
k l
180°- a
a
180°- a
l
a
Rauðu hornin á myndinni eru kölluð víxlhorn.
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
21
Einslæg horn við samsíða línur
Hve stór eru ómerktu hornin á myndinni?
m
62°
118°
118°
62°
k l
62°
118°
118°
STÆ 122 - Frumhugtök rúmfræðinnar
k
l
62°
©2001 Þórdís Hrefna Ólafsdóttir
22